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By Herbert Möller

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Beate Kasper macht deutlich, dass der Einsatz von Instrumenten aus dem Qualitätsmanagement nicht zum Erfolg von Schülerinnen und Schülern beiträgt und die Schulqualität nicht verbessert. Vermittelt über eine grundsätzliche sprachanalytische Kritik des Qualitätsbegriffs – u. a. mit Searle und Wittgenstein – gelingt es, eine Parallele zwischen der Qualitätsdefinition vor der Aufklärung und der gängigen Definition im Qualitätsmanagement herzustellen.

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Andererseits gelten alle Schlussfolgerungen, die wir mit Hilfe der Regeln der Logik allein aus den Axiomen ziehen k¨onnen, f¨ ur alle Gebilde, die die Axiome erf¨ ullen. Bei abelschen Gruppen wird die Verkn¨ upfung oft als “Addition” geschrieben. Ist die Verkn¨ upfung eine “Multiplikation”, so wird das Malzeichen meistens weggelassen. Wir geben zun¨achst einige Beispiele f¨ ur Gruppen und ziehen anschließend einige Folgerungen aus den Gruppenaxiomen. 2 Weitere Beispiele fu ¨ r Gruppen 1. (Z, +, 0, −), (Q, +, 0, −) und (R, +, 0, −) : Das inverse Element zu a ist −a.

Aber nun ist F −1 wegen des Auftretens der Vertauschungsmatrizen in der Regel keine untere Dreiecksmatrix, das heißt, A l¨asst sich nicht als Produkt U S mit einer normierten unteren Dreiecksmatrix U und einer Stufenmatrix S darstellen. ¨ Dieser Mangel l¨asst sich gl¨ ucklicherweise durch eine einfache Uberlegung besei−1 tigen: Wir k¨onnen die Vertauschungsmatrizen Pik k , k = 1, . . , r, aus F nach links herausziehen, ohne die Indexbedingung des Satzes u ¨ber Produktaufl¨osung (Seite 47) zu st¨oren.

2 Weitere Beispiele f¨ ur Gruppen 65 Damit stellt die Menge der invertierbaren n×n - Matrizen zusammen mit der Matrizenmultiplikation, der Einheitsmatrix En und der Inversenbildung ein Gebilde dar, das als Gruppe bezeichnet wird. Diese wichtigste algebraische Struktur wird folgendermaßen definiert: Definition der Gruppe Ein Viertupel (G, ◦, n,¯), bestehend aus - einer nichtleeren Menge G, - einer Verkn¨ upfung (oder Komposition) ◦ : G×G → G, (a, b) → a ◦ b, - einem ausgezeichneten (“neutralen”) Element n ∈ G sowie - einer Abbildung (“Inversenabbildung”) ¯: G → G, a → a ¯, heißt Gruppe genau dann, wenn gilt: G1 (Assoziativgesetz) (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) f¨ ur alle a, b, c ∈ G, G2 (Eigenschaft des neutralen Elements) n ◦ a = a f¨ ur alle a ∈ G, G3 (Eigenschaft der inversen Elemente) a ¯ ◦ a = n f¨ ur alle a ∈ G.

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Algorithmische Lineare Algebra by Herbert Möller


by Joseph
4.0

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