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Heinrich Dörrie, Kubische und biquadratische Gleichungen, München 1948. 28 Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 4 Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften Gesucht ist eine Gleichung, welche die Zahlen i, 2, 3, 4 und 5 als Lösungen besitzt. 1. Historisch weckten die Erfolge bei der Auflösung der kubischen und biquadratischen Gleichung fast zwangsläufig den Wunsch, auch für Gleichungen höherer Grade Lösungsformeln zu finden. Damit verbunden entwickelte sich ein Interesse dafür, die prinzipiellen Eigenschaften von Gleichungen noch besser und vor allem systematischer zu studieren.

Alle drei Lösungen zusammen werden auch die dritten Einheitswurzeln genannt. Gleichungen des Typs x n - 1 = 0, die Gegenstand von Kapitel 7 sind, werden aufgrund ihrer geometrischen Deutung als Kreisteilungsgleichungen bezeichnet. Casus irreducibilis - die Geburtsstunde der komplexen Zahlen 19 ; I Bild 7 Die drei Lösungen 1, (und (2 der Kreisteilungsgleichung x 3 - 1 = O. 4. Für die allgemeine kubische Gleichung kommt den dritten Einheitswurzeln die Bedeutung zu, dass mit ihrer Hilfe die Cardanische Formel derart erweitert werden kann, dass stets drei Lösungen berechnet werden können.

Cn-2 des entstehenden Polynoms aus denen der ursprünglichen Gleichung und der Lösung Xl mittels Addition und Multiplikation berechnet werden können. Findet man weitere Lösungen, kann der beschriebene Prozess der Abspaltung von Linearfaktoren fortgesetzt werden. Bei einer Gleichung nten Grades ist aber spätestens nach der n-ten Lösung keine weitere Abspaltung mehr möglich. Daher kann, wie schon Descartes formulierte, eine Gleichung n-ten Grades höchstens n Lösungen haben. 3. Wenn die Zahl der Lösungen bei einer Gleichung n-ten Grades höchstens gleich n sein kann, dann stellt sich natürlich sofort die Frage, wie klein diese Anzahl unter Umständen sein kann.

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by Michael
4.2

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